Beispiel 184 - Grenzkosten
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Grenzkosten
Die Kostenfunktion K beschreibt die Produktionskosten eines Betriebes für ein bestimmtes Produkt in Abhängigkeit von der produzierten Menge x. Die Kosten werden in Geldeinheiten GE, die produzierte Menge in Mengeneinheiten ME angegeben.
Die erste Ableitung der Kostenfunktion wird Grenzkostenfunktion genannt. Sie gibt näherungsweise an, welche Kosten durch die Produktion der (x +1)-ten Mengeneinheit entstehen, denn:
K'(x) ='lim['De x -> 0]((K(x +'De x) -K(x))/('De x)) ~~K(x +1) -K(x)
Der Differenzenquotient wird also durch den Differentialquotienten geschätzt.
Ein Betrieb hat Fixkosten von 10 GE. Seine Grenzkosten K' sind durch K'(x) =0,5 *(1 +'e^(-0,05 *x)) gegeben.
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Aufgabenstellung:
a.)
Berechnen und interpretiere Sie K'(40).
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Die Grenzkostenfunktion K' ist in ihrem gesamten Verlauf streng monoton fallend. Erklären Sie, was das in Hinblick auf die Kostenfunktion K im gegebenen Kontext bedeutet!
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b.)
Zeigen Sie, dass gilt 'lim[x -> 'ue](K'(x) =0,5).
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Interpretieren Sie diese mathematische Aussage im gegebenen Zusammenhang.
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c.)
Berechnen Sie das Integral 'int[10; 40](K'(x) 'dx).
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Veranschaulichen Sie dieses Integral in der Grafik und erläutern Sie seine Bedeutung im gegebenen Kontext.
{{Grafik: Koordinatensystem:
waagrechte Achse: produzierte Menge in ME; [0; 70]; Skalierung: 10;
senkrechte Achse: Grenzkosten in GE pro ME; [0; 1]; Skalierung: 0,5;
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Der dargestellte Graph von K' ist linksgekrümmt. Er fällt von (0|1) über (10|~~0,8) und (40|~~0,55) bis (70|~~0,51)}}
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{{Alternativ: Beschreibung}}: []
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d.)
Bestimmen Sie den Term der Kostenfunktion K.
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Im Diagramm sind die Kostenfunktion K und eine lineare Funktion f dargestellt, durch die K im Intervall [10; 40] gut angenähert werden kann.
{{Grafik: Koordinatensystem:
waagrechte Achse: produzierte Menge in ME; [0; 50]; Skalierung: 10;
senkrechte Achse: Kosten in GE; [0; 40]; Skalierung: 40;
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Der dargestellte Graph von K ist extrem schwach rechtsgekrümmt. Er steigt von (0|10) über (10|19) und (40|39) bis ~~(48|42).
Der dargestellte Graph von f steigt linear von (10|19) und (40|39).}}
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Berechnen Sie die Steigung von f und geben Sie an, welche Bedeutung dieser Wert für den Betrieb hat!
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